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Formule mathématique : les équations à connaître absolument !

De Yann, publié le 21/02/2018 Blog > Soutien scolaire > Maths > 15 Equations Mathématiques qui ont Changé le Cours de l’Histoire

Les mathématiques nous entourent en permanence, un peu comme si nous vivions constamment dans la matrice de Neo (cf. film « Matrix »).

Lorsque l’on regarde sa maison, l’agencement de rues d’un quartier, quand on démarre sa voiture ou lorsque l’on lance notre lave-vaisselle, quand on fait du bricolage, quand on peint un tableau ou jouons du piano, les maths sont véritablement partout.

Il n’y a pas un objet qui ne soit pas l’aboutissement de réflexions mathématiques.

Équations complexes à plusieurs inconnues, calcul trigonométrique, physique théorique, algèbre linéaire, nombres relatifs, équations différentielles, théorèmes mathématiques qui remontent à l’Antiquité, jusqu’aux dernières découvertes du XXe siècle ont façonné notre monde à jamais.

A chaque nouvelle équation mathématique, c’est un flot de questions et de nouvelles réponses sur notre monde physique qui apparaissent.

En 2013, l’auteur Ian Stewart, mathématicien et scientifique britannique de renom, a publié un ouvrage intitulé Les 17 équations qui ont changé le monde (Ed. Robert Laffont).

Faire des maths….c’est quelque part se donner la possibilité de changer le monde.

A mi-chemin entre raisonnement et intuition, les mathématiques ont toujours laissé la part belle à l’imagination et la créativité. Bien loin de ce que l’on pourrait imaginer en reprenant nos vieux cours de collège !

Florilège de quelques équations mathématiques qui ont marqué leur époque et changé profondément la vision des maths, de la science et parfois même du monde. Voici 15 formules totalement révolutionnaires pour vos cours de math en ligne.

1. Le théorème de Pythagore : formule mathématique de base

Quelle est l'implication de Pythagore dans les maths modernes ? Certaines formules mathématiques sont également utilisées dans l’art.

Ce théorème daté de 530 avant notre ère est probablement l’un des plus connus. Il reste encore aujourd’hui un des piliers des mathématiques modernes et a contribué depuis longtemps à l’essor de la discipline et à l’histoire des mathématiques.

Même après des années sans cours de math, le nom de ce théorème et tout ce qu’il implique trotte toujours dans un coin de notre mémoire. Même s’il rappelle à certains de mauvais souvenirs, il est difficile d’en oublier ses ingrédients !

Tâchons quand même de rappeler sa définition :

« Dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse (c’est-à-dire le côté opposé à l’angle droit) est égal à la somme des CARRES des longueurs des deux autres côtés ».

La réciproque de ce théorème tente quant à elle à prouver qu’un triangle est rectangle, en partant de ce postulat : « Dans un triangle, si le carré d’un côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle ».

Le théorème, sa réciproque et la fameuse équation liée a permis d’apporter un regard neuf sur la géométrie, habituellement plane. On dit que nous passons d’une géométrie euclidienne à une géométrie non-euclidienne.

Depuis, grâce à Pythagore et à sa fameuse équation, il est désormais facile de calculer des longueurs, des angles et de démontrer qu’un triangle est rectangle ou non.

Le théorème de Pythagore reste utilisé dans des domaines très concrets comme la construction, l’architecture, la menuiserie, le jardinage. Ce ne sont que quelques exemples parmi tant d’autres !

2. Le théorème de Thalès : l’autre formule mathématique fondamentale !

Nous touchons ici un second pilier de nos mathématiques de collège : le fameux théorème de Thalès !

Saviez-vous d’ailleurs que ce théorème n’est pas de Thalès mais d’Euclide ?

C’est en suivant la légende de la mesure de la pyramide qu’il fut attribué à Thalès, nous y reviendrons plus tard. Attardons-nous quelques secondes sur ce théorème qui en a fait cauchemardé plus d’un !

Définition : « Dans un plan, une droite parallèle à l’un des côtés d’un triangle sectionne ce dernier en un triangle semblable ». La réciproque cherche à prouver si deux droites sont parallèles.

Quelles sont les formules mathématiques qu'on apprend à l'école ? De nombreux théorèmes s’appliquent à la géométrie.

Mais alors, en quoi le théorème de Thalès a bouleversé les mathématiques ? En quoi a-t-il apporté une solution mathématique réelle à des problèmes concrets ?

En géométrie, le théorème de Thalès ainsi que sa réciproque peuvent être utilisés pour mettre en évidence et établir des conditions d’alignement ou de parallélisme.

La légende raconte qu’à la demande du roi Amasis, Thalès se rendit en Egypte pour évaluer la hauteur des pyramides et plus précisément celle de Khéops. En plantant sa canne verticalement dans le sol à midi, il dit au roi : « Le rapport que j’entretiens avec mon nombre est le même que celui que la pyramide entretient avec la sienne ».

Ainsi, en d’autres termes, si la longueur de la canne ainsi que son ombre sont connus, il est possible en appliquant les mêmes proportions de déterminer la hauteur des pyramides, après en avoir mesuré l’ombre.

3. Les logarithmes

Les logarithmes, popularisées par John Napier en 1610, regroupent des fonctions inverses, des opposées et des fonctions exponentielles.

Jusqu’au développement de l’ordinateur, le calcul avec les logarithmes était la façon la plus habituelle de multiplier ensemble un grand nombre, ce qui a permis de calculer plus vite mais surtout de faire des bonds de géant dans les domaines des mathématiques, de la physique, ou encore de l’ingénierie et de l’astronomie.

Le logarithme de base b d'un nombre réel strictement positif est la puissance à laquelle il faut élever la base b pour obtenir ce nombre. Les logarithmes sont également étudiés en cours de maths au lycée mais à quoi servent-ils ?

Il existe 3 types de logarithmes :

  • Le logarithme népérien est la base fondamentale en analyse mathématique,
  • Le logarithme décimal est utilisé en calculs mathématiques,
  • Le logarithme binaire est utilisé en théorie informatique et pour les calculs appliqués (en « cours de math  » ).

Le logarithme d’un nombre est la puissance à laquelle il faut élever sa base
pour obtenir ce nombre.

Par exemple, en ce qui concerne la base de 10, le logarithme (log) est : Log (1) = 0, log (10) = 1, log (100) = 2.

On peut par exemple se servir des maths au poker et pour résoudre des énigmes.

4. La loi de la gravitation

Quelles formules un professeur de mathématiques peut nous enseigner ? La loi de la gravitation ou loi de l’attraction universelle, découverte par Isaac Newton.

Qui n’a jamais entendu parler de la loi de la gravitation d’Isaac Newton ? Vous savez, l’histoire de la pomme que le savant reçoit sur la tête tandis qu’il admire la lune dans le ciel ? C’était en 1687.

C’est en faisant le rapprochement entre ces deux corps (la lune et la pomme) que Newton s’interroge alors : pourquoi la lune ne tombe pas ?

La réponse est évidente : elle est « retenue » par une force gravitationnelle.

C’est ainsi qu’est née la célèbre formule de la loi de la gravitation de Newton : « Les astres s’attirent de façon proportionnelle au produit de leur masse qui est inversement proportionnelle au carré de la distance qui les sépare ».

Mathématiquement, cela s’exprime par 

Comment les mathématiques influencent notre vie quotidienne ? Loi d’interaction gravitationnelle de Newton.

F représente ici la force, G représente la constante de gravitation, mA et mB sont respectivement la masse du corps A et du corps B, d est une distance exprimée en mètre. Cette formule tend à prouver la valeur de la force exercée par le corps A sur B et réciproquement.

200 ans après Newton, Einstein remplacera la théorie de la gravitation par sa théorie sur la relativité.

5. La théorie de la relativité

L'expression théorie de la relativité renvoie le plus souvent à deux théories complémentaires élaborées par Albert Einstein : la relativité restreinte et la relativité générale1. Ce terme peut aussi renvoyer à une idée plus ancienne, la relativité galiléenne qui s'applique à la mécanique newtonienne. (E représente l’énergie, m la masse d’un corps et « c » la célérité de la lumière)

Que l’on soit bercé dans les mathématiques et la physique ou que l’on ne connaisse rien au vocabulaire des mathématiques, tout le monde connaît la célèbre formule E = mc² d’Albert Einstein.

Cette formule qui illustre la théorie de la relativité a bouleversé tous les codes de la physique connus jusqu’alors.

Elle demeure aujourd’hui encore capitale car montre que la matière peut être convertie en énergie et réciproquement.

La relativité restreinte apporta l’idée que la vitesse de la lumière était une constante universelle qui ne se modifiait pas et que le passage du temps n’était pas le même pour les personnes qui se déplaçaient à des vitesses différentes.

La relativité générale d’Einstein décrit la gravité où l’espace et le temps sont incurvés et repliés : ce fut un changement majeur depuis la loi de la gravitation de Newton.

Aujourd’hui encore, la théorie de la relativité d’Einstein demeure essentielle pour comprendre l’origine, la structure et le destin de notre Univers.

Les maths permettent de mieux comprendre le monde. Encore une preuve, s’il en fallait de l’omniprésence des maths dans notre quotidien !

Comment Eisntein révolutionna le monde de la physique et des maths ? On peut être un génie et avoir besoin de se relaxer de temps en temps !

6. La théorie du Chaos

Ce qui est très intéressant avec la théorie du Chaos, c’est qu’elle a démontré que l’on ne pouvait pas prédire avec déterminisme ce qui allait devenir. Elle décrit un processus en constante évolution à travers le temps.

Cette théorie prouve qu’il n’existe aucun véritable processus que l’on peut pronostiquer.

La théorie de Robert May est très récente puisqu’elle date de 1975, bien qu’on retrouve déjà sous la plume de Poincaré à la fin du XIX ème siècle, le phénomène de sensibilité aux conditions initiales, une des deux caractéristiques fondamentales de la théorie du chaos (la seconde étant le principe de récurrence).

Dans sa formule, May a souhaité expliquer qu’un comportement chaotique (comme la météo qui connaît de nombreux changements climatiques régulièrement, même infimes) peut conduire à un autre système complètement différent quelques jours plus tard.

Le comportement chaotique est à la base de nombreux systèmes naturels, tels que la météo ou le climat. La théorie du chaos étudie le comportement des systèmes dynamiques.

L’illustration la plus connue est celle appelée « effet papillon » qui dit « qu’un battement d’ailes d’un papillon au Brésil peut provoquer un ouragan ou une tornade en Asie ».

En d’autres termes, les choses les plus insignifiantes peuvent avoir un impact insoupçonné et insoupçonnable sur un environnement proche comme un autre beaucoup plus lointain. En algèbre, on retrouve également cette idée lorsque l’on fait une approximation.

Par exemple, si on effectue une troncature de pi à deux décimales (3,14 en l’occurrence), l’utilisation répétée de cette approximation engendrera des résultats de plus en plus éloignés de la réalité que l’on souhaite montrer.

Dans la théorie du Chaos, c’est précisément la multiplicité des facteurs qui rend tout événement imprévisible.

7. Le calcul infinitésimal

A mi-chemin entre l’algèbre et la géométrie, le calcul infinitésimal est une branche à elle seule des mathématiques. Le calcul infinitésimal s’intéresse aux intégrales, aux séries ou aux suites infinies, aux fonctions en traitant leurs dérivées et leurs limites.

Si l’on devait résumer le calcul infinitésimal en une seule idée, on parlerait d’étude des variations.

On retrouve de nombreuses applications concrètes dans la mécanique, la physique ou plus surprenant dans l’économie.

En effet, l’étude des variations permet d’étudier l’évolution d’une entreprise en prenant en considération beaucoup de données diverses et d’éventuellement prédire ou donner un ordre d’idée de sa santé financière dans les années futures.

8. L’identité d’Euler

L’identité d’Euler est considérée comme «  la plus belle des équations » des cours de math 3eme secondaire belgique car elle met en scène une combinaison improbable de 5 constantes mathématiques. On retrouve sa trace sous Euler qui la met en évidence dans Introductio In Analysin Infinitorum (Introduction à l’Analyse des Infiniment Petits), véritable bible de l’analyse mathématique.

Pourquoi admire-t-on cette équation ? Parce qu’elle utilise 3 des opérations fondamentales en arithmétique : l’addition, la multiplication et l’exponentiation.

Quelle école polytechnique vaut-il mieux faire ? L’identité d’Euler est considérée comme la plus belle formule mathématique.

A elle seule, l’identité d’Euler résume une grande partie des mathématiques.

  • « e » est la constante mathématique (valant environ 2,71828) représentant la base du logarithme, que l’on retrouve notamment en analyse ou en calcul différentiel,
  • « i », l’unité imaginaire représente l’algèbre (source des nombres complexes que l’on retrouve dans les équations à 3 inconnues),
  • La constante d’Archimède représente le très mystérieux nombre pi et donc la géométrie,
  • Tandis que les entiers « 0 », élément neutre de l’addition et le « 1 », élément neutre de la multiplication représentent respectivement l’arithmétique et les mathématiques.

Cette équation, qui décore le Palais de la découverte à Paris, a ouvert la voie au développement de la topologie, une branche des maths modernes.

9. La transformée de Fourier

La transformée de Fourier découpe le temps en plusieurs fréquences et ondes simples comme un prisme déconstruit la lumière en plusieurs couleurs.

Un autre exemple pourrait être un champ magnétique ou un champ acoustique que l’on définit comme un signal, la transformée de Fourier est son spectre : elle déstructure le champ acoustique ou magnétique.

La transformée de Fourier s'exprime comme « somme infinie » des fonctions trigonométriques de toutes fréquences. La transformation de Fourier est une extension, pour les fonctions non périodiques.

Cette théorie a bouleversé notre monde car, soudain, il était possible de comprendre la structure des ondes plus complexes comme l’est la parole humaine.

Aujourd’hui, on retrouve cette théorie qui date de 1822 au cœur des traitements modernes du signal et de l’analyse ainsi que dans le traitement des données.

10. Les équations de Maxwell

Les équations de Maxwell décrivent comment interagissent les charges électriques mais aussi les courants électriques et les champs magnétiques.

C’est une mise en abîme du comportement et de la relation entre l’électricité et le magnétisme.

Ce sont des lois essentielles et fondamentales de la physique d’aujourd’hui.

Il existe 4 formes des équations de Maxwell :

  • Équation de Maxwell-Gauss,
  • Équation de Maxwell-Thomson,
  • Équation de Maxwell-Faraday,
  • Équation de Maxwell-Ampère.

11. Le second principe de la thermodynamique

Le 2nd principe de la thermodynamique (aussi connu sous le nom de principe de Carnot qui l’énonça en 1824) prouve de manière irréfutable que les phénomènes physiques sont irréversibles, notamment lorsqu’il y a des changements thermiques.

Ce principe fut remanié et reformulé à diverses reprises et c’est Ludwig Boltzmann en 1873 avec Max Planck qui le popularisa à grande échelle.

Premier principe de la thermodynamique : principe de conservation de l'énergie ; introduction de la fonction énergie interne, U. Deuxième principe de la thermodynamique : principe d'évolution ; création d'entropie, S. Troisième principe de la thermodynamique ou principe de Nernst : l'entropie d'un corps pur est nulle à T = 0 K. Les principes de la thermodynamique sont les principales lois (principes en fait, car non démontrées) qui régissent la thermodynamique.

Alors que le 1er principe de la thermodynamique établit une équivalence des différentes formes d’énergie dont la chaleur et le travail (principe de conservation), le second principe introduit un autre système appelé l’entropie.

C’est un principe d’évolution car il détermine dans quelle direction les possibles transformations énergétiques du monde sont réalisables.

Par conséquent, certaines transformations chimiques sont possibles tandis que d’autres ne le seront jamais.

Concrètement, si vous mettez un glaçon dans votre tasse de café chaud, vous verrez le cube de glace en train de fondre mais jamais le café se geler.

12. L’équation de Schrödinger

Si l’on devait illustrer ce que sont les maths et la mécanique quantique, l’équation de Schrödinger en serait le parfait exemple.

Comme la théorie de la relativité générale d’Einstein a pu expliquer l’Univers à grande échelle, cette équation apporte un éclairage sur le comportement des atomes et des particules subatomiques.

Elle décrit l'évolution dans le temps d'une particule massive non relativiste, et remplit ainsi le même rôle que la relation fondamentale de la dynamique en mécanique classique. L’équation de Schrödinger, conçue par le physicien autrichien Erwin Schrödinger en 1925, est une équation fondamentale en mécanique quantique.

L’équation de Schrödinger explique l’évolution dans le temps d’une particule. Elle décrit les états de cette particule à partir desquels il est possible de décrire tous les états composés de particules.

Cette équation pose une véritable question philosophique à savoir :

  • La matière est-elle constituée de présences d’états possibles (gaz, solide, liquide) ?
  • N’y a-t-il pas autre chose ?

L’application de cette équation se retrouve dans la technologie moderne comme l’énergie nucléaire, les ordinateurs à semi-conducteurs et les lasers.

13. Les équations de Navier Stokes

On retrouve les équations de Navier-Stokes en mécanique des fluides. Ce sont des équations décrivant le mouvement des fluides newtoniens (gaz et certains liquides) ayant la particularité d’avoir des dérivées partielles non linéaires.

Bien que la cohérence mathématique de ces équations (non linéaires rappelons-le) ne soit pas démontrée, elles permettent souvent une modélisation des phénomènes relativement proche de la réalité perçue.

Elles peuvent être utilisées pour modéliser différents phénomènes comme la météorologie ou encore le comportement des gratte-ciel. Ses équations sont des dérivées non linéaires.

Ces équations sont utiles dans des domaines comme les courants océaniques, la météorologie avec les mouvements de masse d’air, le comportement des constructions (building, ponts) sous l’impact du vent ou encore le comportement d’objets lancés à grande vitesse, comme un train ou un avion défiant le vent.

De ce fait, le domaine d’application général est l’aérodynamique et l’on trouvera même trace de ces équations dans les bureaux d’études d’écuries sportives (sport automobile ou cyclisme par exemple) qui cherchent à maximiser les performances en minimisant l’impact de la prise au vent.

14. La théorie de l’information de Shannon

A quoi correspond le nombre d'or ? Pas CE Sheldon, non…

Cette théorie trouve ses fondations dans l’article A Mathematical Theory of Communication publié en 1948 par Claude Shannon et sera complétée par Warren Weaver par la suite. Dans cette théorie, on considère l’information comme une variable mesurable, bien qu’elle ne soit pas observable.

Une vulgarisation de cette théorie consisterait à dire qu’elle vise à quantifier la teneur moyenne d’informations contenu dans un ou un ensemble de messages. Bien que la théorie de l’information ne se cantonne initialement qu’à l’analyse des moyens à mettre en œuvre pour transmettre une information le plus efficacement possible, celle-ci a rapidement fait l’objet d’une réappropriation mathématique, notamment au travers des travaux de Ronald Aylmer Fisher, statisticien de profession.

Fisher met en avant le fait qu’une information
est égale à la valeur moyenne du carré de la dérivée partielle (δ)
du logarithme naturel de la loi de probabilité étudiée.

En d’autres termes, plus une information est probable, moins elle est porteuse d’informations et vice versa. L’exemple d’un journaliste présentateur du journal télévisé est parlante.

Lorsque celui-ci commence son journal par « Bonsoir », l’information est jugée très probable et induit donc une quantité d’informations relativement faible. A l’inverse, ouvrir le journal par le célèbre « La France a peur » revêt une probabilité faible et une quantité d’informations forte, de nature à faire réagir le téléspectateur.

On retrouve les principes de cette théorie dans des champs d’application assez vastes, allant de la cryptographie au codage de l’information en passant par la mesure du degré de redondance d’un texte ou de plusieurs informations.

D’autres théories plus récentes allient l’analyse mathématique à l’information comme la théorie algorithmique de l’information popularisée par Kolmogorov, Chaitin et Solomonov.

15. Les mathématiques font gagner la guerre : le cas de la machine Enigma !

Bon nombre d’entre nous ont déjà entendu parler d’Enigma et de son rôle de décryptage des messages allemands pendant la seconde guerre mondiale.

Bon nombre d’historiens s’accordent à dire que la cryptanalyse d’Enigma fut un facteur majeur du succès des alliés et qu’elle a indirectement sauvé de nombreuses vies en même temps qu’elle a raccourci la guerre.

Si vous n'avez pas vu le film Imitation Game, regardez-le pour mieux comprendre les ressors de cette machine. Enigma aurait permis de déchiffrer le langage secret des Allemands durant la seconde guerre mondiale.

Le principe de base de la machine Enigma se base sur 3 éléments qui travaillent en chaîne :

  1. Le tableau de connexion qui permet d’échanger deux à deux les lettres de l’alphabet grâce à des « fiches » au nombre de 6 (on pourra donc faire permuter 12 lettres : le A deviendra par exemple un E et E deviendra A, D pourra rester D…),
  2. Les rotors qui sont également une permutation mais sans notion de réciprocité, c’est-à-dire que si B devient C, C ne deviendra pas nécessairement B. A mesure de l’évolution de la machine Enigma, on passera de 3 à 6 rotors. Parmi ces 6 rotors, seuls trois sont utilisés pour le codage et ils pourront être placés dans n’importe quel ordre. Si le rotor transforme initialement D en B, lorsqu’on le tourne d’un cran, il transformera C en A. Le rotor comporte 26 crans pour autant de positions. Après 26 lettres, il revient à sa position initiale et c’est le second rotor qui prend le relai. Ainsi de suite jusqu’au troisième,
  3. Le réflecteur qui permet une dernière permutation. Le but est de permuter à nouveau toutes les lettres 2 à 2 qu’on fait ensuite repasser par les rotors puis par le tableau de connexion.

La combinaison de toutes ces permutations laisse apparaître 10^16 (10 puissance 16) possibilités d’interprétation différentes du codage.

Si vous n’avez pas vu le film Imitation Game traitant du sujet, on ne saurait que vous le conseiller !

En synthèse :

  • Comme on peut le voir à travers le temps et surtout depuis le 18 et le 19e siècle, les équations mathématiques ont su transformer le monde dans lequel nous vivons, elles ont pour certaines changé les modes de pensée et de réflexion ou donner au monde une trajectoire différente.
  • Une chose est sûre, qu’on le veuille ou non, ces équations sont partout, les maths sont partout et nous servent tous les jours dans notre quotidien, en cours de maths ou de manière plus ou moins directes.
  • Quelle sera la prochaine innovation mathématique ? Quelle nouvelle révélation mathématique va encore une fois venir chambouler nos conceptions de la vie telle que nous nous représentons ?

Superprof reste sur le qui-vive et vous en fera part, soyez-en certain !

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