"Ce qui est affirmé sans preuve, peut être nié sans preuve." - Euclide, mathématicien Grec, vers 300 avant J-C
Monument intemporel de la science mathématique, Euclide est l'auteur de l'ouvrage Eléments de mathématiques, écrit vers 300 avant J-C et étant considéré comme le recueil ayant probablement eu le plus de succès. Dès les débuts de l'imprimerie au milieu du XVe siècle, il s'agissait de l'ouvrage le plus imprimé après la Bible. Constitué de treize livres, les Eléments sont dédiés à la géométrie plane - triangles, droites parallèles (vérifiant le théorème de Pythagore), propriétés du cercle -, à l'arithmétique - dont notamment les nombres premiers -, au plus grand commun diviseur (PGCD), et à la méthode des soustractions successives répétées, que l'on résume de nos jours sous l'appellation de division euclidienne.
Euclide ayant vécu entre les IIIe et IIe siècles avant J-C, à l'époque où la Grèce antique dominait le bassin Méditerranéen, il est incontestable que ses travaux d'érudition essaimèrent dans tout le monde connu d'alors, et qu'ils furent repris par les civilisations qui lui succédèrent, notamment la Rome antique. Vous verrez en cours de maths que Euclide influença le monde des sciences de la Renaissance à nos jours, de Copernic à Kepler, de Galilée à Newton en passant par Spinoza et B. Russel.
Dans cet article, nous nous focalisons sur un pivot moteur de l'œuvre d'Euclide ayant bâti sa renommée internationale : la division euclidienne, un concept aussi bien présent lors d'un exercice en cours de maths 3ème secondaire que lors d'un cours de maths 6e secondaire supérieur.
La division euclidienne : définition et principes
La division euclidienne, ou division entière, est un thème incontournable des exercices de mathématiques du premier cycle, mais qui n'est cependant pas toujours maîtrisé à l'entrée en classe de 1ère secondaire. Il s'agit de la célèbre opération qui associe à deux nombres entiers naturels - diviseur et dividende - deux autres nombres entiers : le quotient et le reste.
Elle est définie pour diviser un entier naturel non nul (? 0) par un autre, d'abord entier positif, puis tous les nombres entiers relatifs, c'est-à-dire aussi chaque nombre entier négatif. Vous aimeriez en savoir plus encore de la bouche d'un prof particulier mais vous ne savez comment faire ? La réponse n'est pas bien loin : recherchez des cours de math en ligne belgique !
L'algorithme euclidien est majoritairement employé dans les cours de mathématiques à l'école primaire : les élèves sont initiés à la division par des mises en situation : comment donner une part de gâteau à cinq personnes, comment distribuer 47 billes à 4 personnes, etc. Ensuite, peu de temps après ceci, on apprend aux élèves comment faire une division d'un entier naturel par un autre - la division euclidienne, donc - en posant l'opération sur papier.
Cette étape du cours de maths implique donc de maîtriser ou d'apprendre les tables de multiplication par cœur, mais aussi les règles de calcul de base : additionner, soustraire, décomposer les nombres entiers (nombres pairs et nombres impairs), etc. La technique de la division permet de trouver tous les diviseurs d'un nombre sans l'aide d'une calculatrice. Modus operandi : pour cela, on cherche combien de fois peut-on rencontrer une grandeur donnée dans une valeur plus élevée. Par exemple, comment calculer la division de 30 par 4, ou de 75 par 7. Quand on est un enfant de 6 ou 7 ans, trouver le résultat ne va pas de soi.
Quand on calcule des petits nombres naturels, ça va, mais quand on chercher à déterminer combien de fois le chiffre 4357 contient le nombre 28 en calcul mental, il faut avoir assimilé la technique de la division de base. D'autant que plus tard, viendront les nombres relatifs - en incluant les entiers naturels négatifs -, et l'enfant verra alors comment poser une division de nombres décimaux, tout en assimilant le calcul fractionnaire.
Faire une division euclidienne en cours de maths consiste aussi à distribuer équitablement une quantité n entre plusieurs entités q : comment donner 53 billes à 5 personnes ? Réponse : par division parcellaire, on peut donner une bille chacune à cinq personnes. Chacun possède une bille, et il reste donc 47 billes. On recommence jusqu'à ne plus pouvoir donner 5 billes. A la dernière distribution, on se rend compte que chacun possède dix billes et qu'il reste un stock de trois billes.
Elles sont impartageables, à moins que deux personnes ne soient lésées : on dit dans ce cas que 3 est le reste. Chacun des enfants possède donc dix billes : 10 est le quotient. Ainsi, l'exercice d'effectuer la division euclidienne de 53 par 5, c'est écrire : 30 = 5 × 10 + 3 après avoir vérifié que 3 < 5. Découvrez aussi la définition de la fonction affine !
Comment résoudre une division euclidienne ?
La méthode par soustraction successive propre à l'algorithme d'Euclide parvient à simplifier une opération de prime abord complexe. En outre, c'est la magie des mathématiques que de rendre accessible un protocole a priori irréalisable.
Diviseur à un chiffre
Par exemple, prenons l'opération suivante : diviser 273 par 17. On cherche combien de fois le nombre 17 est compris entre 17 et 273.
Pour trouver le résultat, la démonstration est la suivante :
Étape n°1 : on commence par poser la division, avec le dividende 273 à gauche de la première colonne et le diviseur 17 à droite.
Étape n°2 : On voit que 2 est strictement inférieur à 17, il faut donc chercher combien de fois 17 est contenu dans 27 :
17 x 1 = 17, 17 x 2 = 34
On écrit 1 sous le diviseur - en lieu et place du quotient - et on fait la soustraction suivante : 27 - 17. Il reste 10.
Étape n°3 : on écrit 10 au reste.
Puis on abaisse ensuite le chiffre de l'unité du dividende, 3, en face du 10 : on obtient 103, que l'on divise par 17. On a donc 17 x 6 = 102 : on retient 6 au quotient et on fait la soustraction 103 - 102. Il reste 1. Le résultat est donc 273/17 = 17 x 16 + 1, que l'on écrit : "le quotient entier de 273 par 17 est donc de 16, et son reste est de 1". En cours de maths, vous verrez qu'une division euclidienne est bonne si et seulement si le reste est plus petit que le diviseur, car dans le cas contraire, cela signifie que l'on peut encore faire une division.
Autre particularité : lorsque le reste de la division de a par b est nul, par exemple 20 divisé par 4, on dit que :
- a est divisible par b,
- a est un multiple de b,
- b est un diviseur de a.
Ici, on a 20/4 = 5, donc 20 est divisible par 4, mais on a aussi 20/5 = 4, donc 20 est également divisible par 5, et 5 est aussi un diviseur de 20. Cette gymnastique mentale permet en fait d'élargir le champ des possibles, plutôt que de poser une multiplication et une division à chaque opération pour l'ensemble des nombres : ce sont les critères de divisibilité.
On peut en trouver pour n'importe quel nombre réel en arithmétique modulaire - qui provient de la division euclidienne, largement utilisée par le mathématicien du XVIIe siècle Pierre de Fermat, grâce à la relation de congruence sur les entiers. Afin de déceler rapidement si un nombre est un diviseur d'un autre, quelques règles peuvent être appliquées - il s'agit de principes abordés notamment dans le programme de maths du secondaire supérieur.
Un nombre entier est divisible par :
- 2 si son chiffre des unités est pair, c'est-à-dire s'il est égal à 0, 2, 4, 6, ou 8,
- 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4,
- 5 si son chiffre des unités est égal à 0 ou 5,
- 3 si la somme des chiffres qui le composent est elle-même divisible par 3,
- 9 si la somme des chiffres qui le composent est elle-même divisible par 9,
- 10 si son chiffre des unités est égal à 0.
Découvrez ici notre définition de la géométrie !
Comment trouver le plus grand commun diviseur d'un nombre ?
Le plus grand commun diviseur (PGCD) de deux nombres entiers non nuls est un principe de base en arithmétique élémentaire, permettant de trouver le plus grand nombre qui les divise simultanément.
Il s'agit de faire pour deux valeurs la liste de tous les diviseurs de ces nombres : par exemple, quel est le PGCD de 20 et 36 ?
- 20 : 1, 2, 4, 5, 10, 20,
- 36 : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.
Le PGCD de 20 et de 36 est donc de 4.
Autre exemple : les diviseurs communs de 36, 48 et 60 sont 1, 2, 3, 4, 6 et 12. Donc, on écrit : PGCD (36, 48, 60) = 12. Deux autres méthodes peuvent s'employer, plus courtes : la méthode des soustractions successives et la division euclidienne (oui, encore elle !) pour calculer le PGCD de 116 et 78, par exemple :
- Par soustractions successives : 116 - 78 = 38, 78 - 38 = 40, 40 - 38 = 2, 2-2 = 0. PGCD (116;78) = 2,
- Par la méthode d'Euclide : 116 = 78 x 1 + 38, 78 = 38 x 2 + 2, 38 = 19 x 2 + 0. PGCD (116;78) = 2.
Le principe est le même pour les deux méthodes : on soustrait un nombre de l'autre autant de fois que l'on peut, et on regarde quel est le reste. Retrouvez tous nos cours de math 3eme secondaire belgique pour progresser plus vite.
Les différentes méthodes de division euclidienne
Il existe d'autres techniques pour résoudre des divisions euclidiennes, et c'est ce que l'on appellera un algorithme de calcul. Entre des nombres entiers, une décomposition peut alors se faire simplement, selon plusieurs exercices de maths, tous aussi efficaces les uns que les autres. On effectue alors différents calculs, propres à la division euclidienne, qui vont nous permettre de résoudre l'équation en toute détente.
Ici, on parle alors de nombres entiers qui ont déjà connu soustraction, addition, comparaison, etc. On calcule donc ici le quotient de la division euclidienne, dont le reste en est déduit tout naturellement. On pourrait donc diviser ce type de calcul en trois méthodes : la méthode naïve, la méthode binaire et la méthode décimale.
La méthode naïve
En division euclidienne, la méthode naïve est la méthode décrite par Euclide lui même et qui procède par soustractions successives, tant que l'opération est possible. Ainsi, on peut alors construire une suite arithmétique entièrement décroissante. Il existe différentes méthodes, mais celle-ci est celle qui été le plus mise en évidence, en soustrayant b à a, et en recommençant encore et encore.
La méthode binaire
La méthode binaire est un principe et une méthode à l'origine de la technique de la division, que l'on menait dans l'Egypte antique. Le principe est donc simple, puisqu'il s'agit là d'une construction à l'envers d'une multiplication égyptienne. D'un point de vue plus concret, il nous suffit là de remplir un tableau, où figurent les puissances de 2, ainsi que leur produit par b.
L'idée est alors de constituer le plus grand multiple, en s'arrêtant juste avant de dépasser le a dans la seconde colonne. Lorsqu'on ajoute les cases correspondantes à la colonne numéro 1, le quotient de la division est atteint. À la différence de la méthode naïve, on ne va pas ici parcourir tous les entiers depuis 0 jusqu'à tomber sur le bon quotient. Loin s'en faut : ici, on va chercher de manière dichotomique dans la liste finie de quotients possibles qu'il reste.
La méthode décimale
La méthode décimale est une méthode que l'on utilisait dans certaines civilisations. Ces civilisations étaient surtout celles qui avaient, très logiquement, adopté le système décimal. Cette méthode est à l'origine de la division posée, comme on l'apprend à l'école primaire. En Chine, on la conçoit très tôt ! Elle n'est tout simplement qu'une division, menée en commençant par les poids forts. Des cours de mathématiques adaptés vous aideront à assimiler encore mieux toutes ces notions surprenantes ! Cette technique chinoise, donc, développe en trois lignes un algorithme :
- Une ligne où va constituer peu à peu le quotient,
- Une autre ligne, où le dividende sera inscrit et évoluera au fil du calcul,
- Une troisième et dernière ligne, où l'on placera le diviseur.
Si vous êtes allé à l'école primaire, ce type de division euclidienne devrait vous parler puisqu'il suit le schéma que nous avons presque tous connu, à savoir les deux traits perpendiculaires. De manière très simple, on commence donc par placer le diviseur à gauche, et on calculera le tout sans prendre garde aux chiffres de droite.
On place le quotient dans la première ligne, et le reste vient remplacer les chiffres relatifs au dividende. On recommence le calcul encore et encore jusqu'à le terminer. Vient ensuite le caractère euclidien de la chose, mais sur le principe, voilà donc une méthode qui correspond davantage à nos attentes et à ce que nous connaissons d'un calcul mathématique.
Les représentations de la division euclidienne
Dans l'esprit collectif, la division euclidienne - et les maths en général - possède une représentation souvent mauvaise mais aussi souvent biaisée, qui participe à rendre ce pan de notre culture inaccessible et peu attrayant. Car oui, qui a déjà associé des valeurs positives et bienveillantes à une équation mathématique ? Pas grand monde, je vous l'accorde.
La mauvaise image de la division euclidienne
La représentation de la division euclidienne en Belgique est donc semblable, pour beaucoup, à un concept étrange et flou de maths, qui ne donne envie à personne. On la remarque aussi parfois dans des bandes dessinées ou des dessins animés pour enfants, dans un contexte d'incompréhension la plus totale. Toutefois, il ne s'agit là ni plus ni moins que d'une division basique, qui nous servira à tous dans la vie quotidienne.
On la cite comme exemple lorsqu'on souhaite comparer quelque chose de complexe à résoudre, on l'utilise pour montrer le caractère compliqué et stérile d'une situation, on la prend à parti lorsqu'il s'agit de rendre quelqu'un perdu ou de complexifier de manière intense un propos… Alors oui, bien sûr, la division euclidienne doit se maîtriser, mais tout ceci n'est qu'un petit cliché qui, au final, sera démembré au fil de l'opération de maths. Découvrez aussi ce qu'est l'algèbre !
La division euclidienne : une base à maîtriser
La division euclidienne est ce type de pratique qui, malgré une image biaisée, est une base pour toutes les situations du quotidien, et que l'on emploie régulièrement sans s'en rendre compte, bien sûr. De quoi donner envie à tout un chacun de se replonger dans les manuels scolaires, et d'arriver à comprendre la plus simple des situations à la boulangerie, par exemple !
La division euclidienne, au-delà même du fait qu'elle est utile, est aussi passionnante et stimulante, que l'on décide de la faire soi-même ou que l'on décide de s'y intéresser, tout simplement ! C'est probablement là sa force, comme beaucoup d'autres calculs de maths : on se prend au jeu et on s'y intéresse réellement, au moment où notre attention se focalise dessus. Avant, elle ne reste qu'un vague concept peu attirant pour le commun des mortels.
Apprendre la division euclidienne grâce à un professeur particulier
Quel que soit notre attachement aux mathématiques en soi, la division euclidienne est une opération souvent utile à tout un chacun, dont l'usage peut nous donner envie d'en apprendre les rudiments, mais aussi les subtilités. C'est la raison pour laquelle un professeur sera plus à même de nous initier à cette méthode, de la 1ère primaire à la 6ème secondaire, en passant par l'âge adulte. Découvrez enfin ce qu'est une fonction décimale…
Un professeur particulier, oui, mais de quoi ? Et bien de maths, tout simplement ! Car tous les enseignants de mathématiques sont censés pouvoir maîtriser la division euclidienne sur le bout des doigts. Vous n'aurez donc aucun mal à en trouver un ! Reste à savoir quel type de cours vous fait le plus envie, ou colle le plus à vos attentes et compétences. Le cours particulier sera le type d'enseignement le plus à même de vous faire assimiler rapidement le principe et le cheminement d'une division euclidienne, alors que les cours collectifs donneront plus la sensation de progresser ensemble, en groupe, dans une émulation qui, au final, sera collective et stimulante.
Toutefois, il existe également d'autres manière d'apprendre et de progresser en division euclidienne. Les cours en ligne sont une très bonne manière et une superbe alternative pour se pencher sur un point mathématique précis comme celui-ci, au lieu de payer des cours particuliers en présentiel qui ne seront peut-être utiles qu'au bout de plusieurs semaines. Nous en proposons d'ailleurs chez Superprof, alors n'hésitez pas à aller jeter un œil !
On peut également se pencher sur nos propres compétences, et avoir confiance en notre intelligence et en notre capacité à assimiler des concepts. De ce fait, il nous suffira d'une bon livre de mathématiques, d'un manuel bien fait ou encore de quelques pages internet explicatives, et nous voici parti pour faire des exercices. Car, qu'on se le dise, si vous avez lu cet article, c'est que vous êtes maintenant en mesure de définir ce qu'est une division euclidienne ! Le professeur ne sera là que pour vous faire faire des exercices…
Apprendre la division écrite euclidienne en vidéo
Si malgré tous les sites pour apprendre les mathématiques et malgré les cours de maths, votre cerveau renâcle toujours à comprendre comment trouver la solution - il est vrai que l'on ne fait pas boire un âne qui n'a pas soif -, il reste un outil idéal pour perfectionner son niveau : la vidéo Youtube. Des professeurs expliquent avec pédagogie comment poser une division et la résoudre. Voici la méthode en image :
Cette première vidéo pose la méthode d'une division simple à un seul diviseur, et une avec un diviseur à deux chiffres.
Et une démo, encore plus pédagogique pour apprendre comment poser une division :
On récapitule ! Pour réussir sa division euclidienne, il faut connaître :
- Les tables de multiplication,
- La méthode de soustraction,
- La méthodologie.
Ne pas oublier de vérifier le quotient obtenu et d'écrire en ligne le résultat (sous la forme "chiffre = diviseur x quotient + reste"). Ne pas hésiter à relire cours et exercices si des blocages subsistent, et à manifester ses difficultés à l'un de nos professeurs particuliers ! Et voilà, on est paré pour la prochaine rentrée scolaire !
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