Comment construire un tableau de variation ? Mince, je ne me rappelle plus comment étudier les variations de f... Eh oui, les mathématiques sont pleines de mystères ! En classes supérieures du secondaire, le problème de l'étude de fonctions est posé tous les ans en continu de même qu'en épreuve terminale de chaque année scolaire, qui plus est lorsque l'on a choisi de s'orienter un nombre plus élevé d'heure de maths avec les options "Sciences-maths" ou "Sciences-maths-langues" ! Pas question d'être gauche dans son apprentissage à ce niveau-là, malgré le fait que l'exercice des fonctions demeure parfois une des bêtes noires des élèves. Les termes de fonction du premier degré et de fonction du second degré, par exemple, peuvent facilement en dérouter plus d'un... Vous bloquez récurremment sur un exercice portant su la fonction affine ? Vous n'êtes plus sûr de comment construire des tableaux de fonctions ? La notion de fonction affine fait intervenir, par exemple, des objets aussi complexes et abstraites que le coefficient directeur.
De nombreux facteurs sont à l'origine de la nécessité de demander une aide mathématique concernant l'étude des fonctions. Aussi bien le coefficient directeur cité précédemment que l'image des tableaux créés, les valeurs de même que l'idée d'image et d'antécédents troublent les élèves du secondaire. Car si ces exercices de mathématiques paraissent simples, une petite erreur de signe peut vite s'immiscer et fausser tout le résultat. Les élèves du secondaire apprennent notamment comment résoudre une équation de second degré. On considère en cours de math que les bases du calcul algébrique sont maîtrisées car cette étape a eu lieu lors de l'enseignement en classes inférieures du secondaire. Pourtant, tous les ans, au CESS, des coquilles s'invitent dans les copies. Plutôt que d'essayer de lire entre les lignes pour découvrir comment régler le problème, donnez-vous une deuxième chance (et plus !) en relisant avec nous les fondamentaux de l'étude des fonctions !
Il n'est donc pas inutile de rappeler comment dresser le tableau de variation d'une fonction. Pour étudier les variations d'une fonction, on étudie une fonction affine, linéaire, polynôme, exponentielle, logarithme ou trigonométrique. Les tableaux de fonctions ne se font évidemment pas au hasard, il existe un code pour chaque type, et une règle à respecter si l'on veut bien harmoniser les tableaux. L'image type d'un tableau de valeurs de fonction consiste à tracer une barre horizontale croisée de manière perpendiculaire avec une autre barre verticale. Rien de mieux pour lire les valeurs d'une fonction ! Les flèches sont plus rapidement compréhensibles par le lecteur, il est donc devenu une règle de les utiliser dans les formules. L'étude de fonction à partir de son équation - fonction affine, fonction linéaire, fonction asymptotique, fonction logarithme, fonction exponentielle - consiste à déterminer son sens de variation et ses limites à partir de sa dérivation (son intervalle de fluctuation), à chercher son extremum, à trouver ses asymptotes si elles existent, à tracer sa représentation graphique, puis à dresser le tableau de variations et à déterminer les valeurs.
Etudier les variations d'une fonction est donc un sujet de maths qui revient très fréquemment dans les épreuves de mathématiques du CESS, ainsi qu'à l'université dans les examens de bachelier notamment. Dans cet article, la rédaction présente la méthode générale pour étudier les variations d'une fonction f définie sur un intervalle I, dresser son tableau de variations et ensuite, faire sa représentation graphique. Cela servira évidemment aussi pour les cours de math en ligne que les élèves peuvent prendre auprès de nos professeurs particuliers sur Superprof, aussi bien en ligne qu'en présentiel à domicile, ainsi que pour mieux réviser avant tout examen. Prenons l'exemple de la fonction f(x) définie sur et donnée par : f(x) = x3 + 3x2 -9x +6.
Sait-on déjà dériver la fonction, calculer le discriminant, construire un tableau de signe d'une fonction dérivée sans utiliser LaTeX, résoudre une inéquation, tracer des courbes sur un graphique sans confondre abscisse et ordonnée ? L'expression de chaque terme au sein du package est-elle bien assimilée ? S'il y a une chose sûre, c'est que connaître la définition de chaque expression est primordiale ! Si l'expression des termes de fonction du premier degré et de fonction du second degré vous sont parfaitement connues, alors ne perdons pas une seconde de plus et poursuivons avec les étapes suivantes.
Dériver une somme de fonctions avec constante
Pour savoir comment faire un tableau de variation en cours de math, il faut préalablement pouvoir dériver la fonction à partir de l'équation donnée par l'énoncé.
Les dérivées des fonctions puissances, inverses et racines se calculent avec la formule suivante : si f(x) = xn+a, alors f '(x) = nxn-1+a. Pour aider nos lecteurs, voici un très bon rappel du tableau des dérivées. On s'explique : si f(x) = x²+1, alors on note sa dérivée f ' (x) = 2x +0, soit 2x. Prenons l'exemple de f(x) = 10x²+5x +2 : on obtient f ' (x) = 10*2x2-1+5, soit f ' (x) = 20x +5 : la dérivée d'une constante est nulle. On calcule chaque dérivée avec puissances de cette manière, donc si f(x) = x3, alors f ' (x) = 3x². Notre fonction f (x3 + 3x2 -9x +6) est une fonction polynôme formée par la somme de 3 termes de la forme "axn" (a et n étant des entiers naturels) et d'une constante (le nombre 6). La dérivée de "axn" est de la forme "anxn-1", or la dérivée d'une constante est nulle. La dérivée de f(x) est : f '(x) = 3x2 +6x -9.
Dériver une fonction avec un produit
Cela devient un peu plus compliqué lorsqu'une fonction se présente sous la forme d'un produit ou d'un quotient. Par exemple, f(x) = (2x+1) (x²-2). Pour s'aider, voici une chaîne Youtube très pédagogique faite par un professeur de mathématiques :
En mathématiques, on note un produit de deux facteurs par u et v, soit ici, u = (2x+1) et v = (x²-2). Pour dériver, on doit se souvenir des formules suivantes : (uv)' = u'v + uv'. Il est recommander d'écrire au brouillon chaque expression de u, u', v et v' :
- u = 2x+1,
- u' = 2,
- v = x²-2,
- v' = 2x.
L'on peut maintenant procéder à l'opération pour calculer la dérivée de f :
- f ' (x) = u'v + uv' = 2 (x²-2) + 2x (2x+1),
- f ' (x) = 2x² - 4 + 4x² + 2x,
- f ' (x) = 6x² + 2x - 4.
Factoriser si possible la dérivée de f (tableau de variation fonction)
Le but de cette étape est de factoriser la dérivée de la fonction f(x) afin de l’exprimer sous la forme d’un produit ou d’un quotient d’expressions.
La factorisation est une étape clé qu'il ne faut pas oublier parce qu'elle facilite énormément l'étude du signe de f'(x).
Et oui, la factorisation, c'est comme résoudre une énigme mathématiques en cours de maths. Nous remarquons que dans notre fonction initiale (f(x) = x3 + 3x2 -9x +6), l'on peut prendre 3 en facteur ce qui donne : f'(x) = 3(x2 +2x -3). x2 +2x -3 est un trinôme de second degré de la forme ax2 +bx +c avec a, b et c qui sont des nombres réels. Pour factoriser ce trinôme il faut tout d'abord calculer le discriminant et trouver les racines x1 et x2. Le discriminant, noté ? = b2 -4ac = 22 -4×1×(-3) = 4 +12 = 16.
Le théorème du discriminant : si le discriminant est inférieur à 0, alors on admet qu'il n'y a pas de solution à l'équation. Si le résultat est nul, alors x = -b/2a. Si en revanche, ? est positif, alors l'équation admet deux solutions distinctes telles que x1 = (-b + ??)/2a et x2 = ( -b - ??)/2a. On peut alors calculer les racines via les deux formules suivantes : x1= (-2 - 4)/ 2 = -3, ou bien x2= (-2 + 4)/ 2 = 1.
Notons que si le discriminant est positif (et que donc les deux racines existent), le trinôme peut être écrit sous la forme factorisée (x- x1) (x- x2), ce qui donne x2 +2x -3 = (x-(-3)) (x-1) = (x+3) (x-1). La dérivée de la fonction s'écrit donc sous la forme factorisée suivante :
f'(x) = 3(x+3)(x-1)
Etudier le signe de f'(x) sur l’intervalle I et comprendre le tableau des signes
3 est un nombre positif donc le signe de la dérivée f'(x) est identique au signe de (x+3)(x-1). On sait que si f'(x) est supérieure ou égale 0, alors la fonction f est croissante sur I. A l'inverse, si f'(x) est inférieure ou égale à 0, alors f est décroissante sur I. Alors ? f(x) est-elle croissante ou décroissante sur l'intervalle de départ ? Pour connaître le signe de f', il suffit simplement de savoir quand f'(x) s'annule, or on sait construire le tableau de signe d’une fonction de type ax + b.
f '(x) = 3x2 +6x -9 = 3(x+3)(x-1).
x+3 = 0 --> x=-3 et x-1=0 --> x=1.
Résoudre les équations peut se faire de différentes manières.
Résolvons les inéquations suivantes :
x + 3 > 0 => x > -3 donc le binôme x+3 est positif lorsque x est supérieur à -3, nul lorsque x est égal à -3 et négatif lorsque x est inférieur à -3.
x - 1 > 0 => x > 1 donc le binôme x-1 est positif lorsque x est supérieur à 1, nul lorsque x est égal à 1 et négatif lorsque x est inférieur à 1.
Le tableau de signes de la dérivée f'(x) est présenté ci-dessous :
| x | - ? | -3 1 | +? |
| x + 3 | - 0 + + | ||
| x - 1 | - - 0 + | ||
| f'(x) | + 0 - 0 + | ||
f'(x) est donc croissante pour tout x défini sur l'intervalle ]-?; -3], décroissante sur [-3 ; 1] et croissante sur [1 ; +?[. Notons que nous aurions pu déterminer le signe du trinôme x2 +2x -3 en utilisant une autre méthode. En effet, quand le discriminant est positif, le trinôme ax²+bx+c prend le signe contraire de a dans l'intervalle compris entre les deux racines x1 et x2 et le même signe que a ailleurs.
Dresser le tableau de variations de f sur I
Bien que le logiciel LaTeX soit efficace parfois salvateur, en tant que mathématicien, vous vous devez de vous débrouiller autrement ! f étant dérivable sur I, pour toute valeur de x incluse dans I :
- si f'(x) > 0 pour tout x appartenant à I, alors f est strictement croissante sur I.
- si f'(x) < 0 pour tout x appartenant à I, alors f est strictement décroissante sur I.
Le tableau de variation de f est la représentation schématique des directions que prend la courbe représentative d’une fonction. Pour s'entraîner avant le prochain cours de maths secondaire belgique, vous pouvez tentez de placer les flèches sur le tableau ci-dessous.
Le tableau de variations de f est donné par :
| x | -? | -3 1 | +? |
| f(x) | 33 +? -? 1 | ||
On rappelle ici la fonction initiale : f(x) = x3 + 3x2 -9x +6. En remplaçant la valeur de x par -3 et par 1, on obtient f(-3) = 33 et f(1) = 1. Calculons les limites de la fonction. On dit que tend vers l'infini (noté lorsque pour tout x suffisamment grand, est aussi grand que l’on veut. On note alors : lim (x?+?) f(x) = ?+?. D'après le tableau de variations de f, on constate que la fonction possède un maximum au point A (-3;33) et un minimum au point B (1;1).
Tracer la fonction sur son intervalle de définition
Pour tracer un graphique représentant cette fonction, il suffit de placer son minimum et son maximum sur le repère et de faire un petit tableau qui nous aide à poser quelque points particuliers :
| x | f (x) |
| -5 | 1 |
| -2 | 28 |
| -1 | 17 |
| 0 | 6 |
| 5 | 161 |
Les maths et l'art sont souvent liés, seulement une courbe mathématique, c'est tout sauf de l'art. Ici, il faut bien faire attention à placer correctement les repères sur la courbe pour ne pas entraîner des erreurs dans le calcul des valeurs ! Le tableau de variation d'une fonction sert à repérer facilement les asymptotes.
Il s’acquiert généralement par l’étude du signe de la dérivée. Pendant un cour de math, les élèves travaillent aussi des tableaux avec leur professeur, or ceci ne représente pas toute la fonction mais seulement une partie. C'est le cas lorsqu'elle se répète à l’infini. Ces fonctions-ci sont dites périodiques. Résoudre des problèmes en mathématiques est passionnant quand on sait les faire. Inversement, c'est un véritable calvaire lorsque l'on a pas eu le déclic. Pour l'avoir, il n'y a qu'une solution : il faut s'entraîner, s'entraîner encore, reprendre tous les exercices corrigés et les refaire inlassablement, jusqu'à avoir une bonne compréhension des choses. Prendre des cours en ligne avec Superprof peut être une excellente initiative !
Interrogation surprise !
- Soit la fonction f(x) = 2x3+5x2-4x + 1, définie sur [-100 ; 100],
- Dériver f(x),
- Étudier le sens de variation de la fonction dérivée,
- f(x) est-elle croissante sur [-100 ; -50] ?
- Dresser un tableau de variation de la fonction,
- Tracer la représentation graphique de la fonction f.
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