Ne t'inquiète pas si tu as des difficultés en maths, je peux t'assurer que les miennes sont beaucoup plus importantes ! - Albert Einstein (1879-1955).
Apprendre les mathématiques - algèbre, géométrie, trigonométrie, probabilité, équations, solution, type de forme géométrique, constante, théorème et logarithme, fonction exponentielle et limites de fonctions, etc. - est souvent la bête noire des élèves.
Les bases des mathématiques sont bien souvent mal maîtrisées par les jeunes élèves, ce qui contribue d'autant plus à démotiver les élèves à un très jeune âge déjà. Il serait bon ici de vous aider à modifier votre vision négative de la difficulté des maths : après tout, c'est en rencontrant la difficulté sur son chemin que l'on sort grandi(e) d'une situation ! Voici une réflexion sur le nombre E en maths, notion parfois abstraite dans l'esprit des élèves les plus passionnés de maths…
Qu'est-ce que le nombre E en maths ?
Le nombre e est un nombre irrationnel, c'est-à-dire un nombre que l'on ne peut pas compter, dont le nombre de décimales qu'il contient est infini et dont ces décimales se suivent sans suite logique. Cela ne semble pas très réel ni très utile a priori dans votre apprentissage… Et pourtant !
Ainsi, il s'oppose à un nombre rationnel dont le développement décimal est dit périodique, un quotient de deux nombres entiers dont l’écriture décimale peut être infinie mais dans ce cas nécessairement périodique. On s'explique ! Le ratio 2/7 = 0,285714285714285714... Les chiffres après la virgule sont une suite logique et récurrente de décimales. Les nombres irrationnels les plus courants sont le nombre ? (3,14159265358979323846264338327950288419716939937510582…), objet de recherches par les savants depuis l'Antiquité, et le nombre e.
Le nombre e = 2,71828182845904523536028747135266249775724709369995957…, avec à ce jour plus de 5 000 milliards de décimales (trouvées au 29 août 2016 par Ron Watkins). Le nombre e a fait son apparition au XVIIe siècle avec le développement des logarithmes, sous l'impulsion des travaux de recherche du mathématicien écossais John Napier (1550-1617).
Dans son ouvrage de référence datant de 1614, J. Néper présente un outil permettant de simplifier les calculs mathématiques durant les cours de math en ligne : le logarithme, que l'on retrouve dans le programme de mathématiques en classe de secondaire supérieur. Au IIIe siècle avant notre ère, Archimède avait déjà remarqué qu'il suffisait d'additionner les nombres pour effectuer des multiplications de certains nombres, grâce aux puissances (l'exposant).
La méthode de Néper fut d'étendre les travaux d'Archimède en mettant au point une méthode permettant de faire des additions à la place de multiplications, des soustractions à la place de divisions, et des divisions par 2 à la place d'extractions de racines carrées. Au XVIIe siècle, les calculatrices et les ordinateurs n'existaient pas, certes, mais cela ne signifie pas que la recherche mathématique était inexistante, loin de là ! Les mathématiques faisant partie courante de la vie des scientifiques mais aussi des philosophes par exemple.
Les premières tables de logarithmes décimaux à 8 décimales étaient nées. Par exemple, si 103 = 10 x 10 x 10 = 1000 alors log(1000) = 3 et si 10x = y alors log(y) = x. Le nombre e permet de savoir pour quelle valeur le logarithme népérien est-il égal à 1. Solution d'un exemple d'exercice adapté : si ln(x) = y alors x = exp(y), or exp(1) = e.
L'histoire de l'étude du nombre E en mathématiques
A la fin du XVIIe siècle, le nombre e est défini comme étant la base du logarithme népérien, que l'on a plus tard caractérisé par la relation ln(e) = 1, l'image de 1 par la fonction exponentielle. Le mathématicien Jacques Bernoulli (1654-1705) s'intéresse à trouver la valeur maximale des intérêts sur les prêts en ayant recours à la technique des intérêts composés : en ajoutant le plus fréquemment possible les intérêts accumulés au montant initial déposé, on maximise son gain.
Avec 1 € prêté à un taux d'intérêt à 100 %, si l'intérêt du capital se calcule annuellement, la dette est de 2 € en fin d'année. Mais, si on calcule mensuellement, on obtient 2,61 € en fin d'année, et 2,71 € si l'intérêt se calcule quotidiennement. Bernoulli s'aperçoit que les intérêts composés stagnent à mesure que l'on augmente la fréquence de calcul de l'intérêt : calculé à chaque seconde, l'intérêt est le même que quotidiennement (2,71 €).
Par cette démonstration, J. Bernoulli découvrait le nombre e. C'est le mathématicien Suisse Leonhard Euler (1707-1783) qui, un peu plus tardivement, s'intéressera réellement le premier en profondeur au nombre e, tirant son nom de la lettre initiale du mot "exponentiel".
L. Euler démontre en 1737 l'irrationalité du nombre e sur la base d'un développement en fraction continue. L. Euler détermine le développement de e en série au moyen de la factorisation - sachant que 4! = 1 x 2 x 3 x 4 -, tel que : e = 1 + 1/1! + 1/2! + ... + 1/k! Plus on augmente la valeur de k, plus la valeur obtenue se rapproche de e.
Quels sont les champs d'utilisation actuels du nombre E ?
La première utilisation du nombre e, alors que celui-ci n'avait pas encore réellement été théorisé, fut celle de la recherche du gain maximal en augmentant la fréquence de calcul des taux d'intérêts sur un prêt : la méthode des intérêts composés en progression continue, par J. Bernoulli.
Depuis les travaux de L. Euler, le nombre de décimales connues n'a cessé d'augmenter, lui-même de façon exponentielle. Celui-ci est en effet passé de 18 décimales connues en 1748 à 2 010 en 1949, puis à 116 000 en 1978, à 10 millions en 1994, à 1,25 milliard en 1999, pour atteindre 5 000 milliards de décimales en 2016.
Pourquoi ? Grâce à quoi ? Bien évidemment, c'est la puissance de l'informatique qui permet ces records, qu'un cerveau humain ne pourrait égaler. D'accord, super, mais à quoi cela sert-il ? On a souvent l'impression, lorsque l'on se met à réviser avant une épreuve, que de nombreux exercices de maths sont inutiles ou du moins, que l'on ne s'en servira pas dans la vie courante.
Connaître la racine carré de chaque nombre, les équations différentielles, factorisation et dérivation, fonction exponentielle, logarithme, nombres complexes, etc. On peut, en outre, avoir du mal à trouver quels sont les champs d'application du nombre e. Pour le dire simplement, on emploie le nombre e chaque fois que l'on veut estimer une grandeur exponentielle :
- en économie : pour le phénomène de croissance exponentielle, pour le calcul des intérêts versés de façon continue,
- en biologie : pour mesurer la multiplication des cellules vivant dans un organisme,
- en sciences physiques,
- en informatique.
Petit problème de maths surprise : comment estimer l'évolution de la population mondiale au bout de 100 ans si l'on lui applique une croissance de 10 % par an, pour une population initiale de 1 000 individus ? On fera l'opération suivante :
- Première année (1000 x 1,1) = 1 100,
- Deuxième année (1100 x 1,1²) = 1 210,
- Cinquième année (1 000 x 1,1 exposant 5) = 1 610,
- Au bout de 100 ans : (1 000 x 1,1 exposant 100) = 13 780 612.
Selon notre exemple, la population, avec une croissance démographique de 10 % par an, a été multipliée par 13 780 ! Vous cherchez des cours particuliers math ? Vous verrez durant vos cours que, bien entendu, la transition démographique vient atténuer ce calcul exponentiel. Avec une population mondiale à 7,55 milliards d'êtres humains en 2019, et une croissance démographique à 1,2 % par an, nous serions 24,88 milliards sur Terre dans 100 ans !
Quels supports pour apprendre le nombre E en math ?
Le calcul logarithmique, qu'il s'agisse de logarithme népérien et de la fonction exponentielle, les limites d'une fonction ou la dérivée, utilisent souvent le nombre e, qui peut être difficile à comprendre pour un élève au niveau secondaire. Si les cours particuliers de mathématiques à domicile sont trop onéreux pour un élève en difficulté, on peut néanmoins suivre des cours et des exercices en ligne dans le but de s'entraîner en maths gratuitement. Voici quelques supports pour y parvenir.
Afterclasse
Ce site fournit gratuitement des fiches de cours et des exercices rappelant la définition et les propriétés de la fonction exponentielle, des représentations graphiques et des démonstrations pour mieux comprendre. Les élèves peuvent effectuer un test gratuit pour travailler chaque chapitre comportant le nombre e : variations de fonctions, dérivation, limites de fonctions, calcul logarithmique, etc. Un système de points s'accumule au fur et à mesure, avec des niveaux de difficultés variables, ce qui rend l'entraînement ludique.
Educastream
Le site Educastream.com dispose de supports gratuits, à destination des élèves du secondaire supérieur, pour travailler les cours sur la fonction exponentielle. C'est un site de soutien scolaire par visioconférence. Chaque chapitre engendre de nouveaux programmes obligatoires, consultables dans des fiches de cours gratuits : suites, fonctions (limites, continuité, dérivabilité, tangente, dérivée, exponentielle, fonctions logarithmes), primitives, intégration, probabilités, géométrie.
Mathématiques faciles
Le site mathematiquesfaciles.com semble dater de la préhistoire du web (comme resté inchangé depuis les premières heures du langage de programmation HTML et CSS), mais il est pourtant riche d'informations fécondes pour travailler les maths. On y trouvera notamment des équations et fractions avec choix multiples afin de trouver la bonne solution. On conseille de relire ses cours avant de réaliser l'exercice et de noter au brouillon les calculs pour répondre. Surtout, ne jamais cliquer au hasard sur une réponse pour voir si celle-ci est vraie ou fausse : cela entache le processus de compréhension et de mémorisation !
Youtube
Le célèbre site de vidéo à la demande de chez Alphabet (ex-Google) présente des vidéos et tutoriels réalisés par des professeurs de mathématiques pour mieux comprendre les mathématiques. Il suffit de taper "nombre e", "logarithme népérien" ou encore "fonction exponentielle" pour avoir accès à une quantité pléthorique de cours de maths dédiés. En voici un, par exemple, particulièrement pédagogique et simple à assimiler :
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