"Les mathématiques peuvent être définies comme une science dans laquelle on ne sait jamais de quoi on parle, ni si ce qu'on dit est vrai." Bertrand Russel
En effet, le principe des mathématiques est de démontrer systématiquement ce qu'on pense être vrai. On affirme pas, on doit confirmer ! Nous allons essayer de ne pas trop vous raconter de bêtises aujourd'hui en vous parlant du nombre Pi, et notamment de sa valeur comme on l'entend, de son nombre exact ou encore de sa fraction. La formule simplifiée de la valeur de pi est une approximation, sans nombre à virgule alors que la véritable réponse est que la valeur de pi est un chiffre à décimale. Il ne s'agit pas d'une formule à chiffres entiers ici. Mais nous verrons cela après ! Pi, représenté par la lettre grecque ?, est une des constantes les plus importantes en mathématiques. Mais elle est aussi utilisée en physique et en ingénierie. Pi demeure une sorte de mystère pour tous les amateurs de maths dans le monde, laissant place à moult expériences et types de calcul...
Aussi appelé, constante d'Archimède, Pi exerce en effet une fascination sans limite dans le monde depuis sa découverte dans l'Antiquité. Il est même entré dans la culture populaire, et le rapport entretenu avec pi et sa décimale à l'infini fait qu'on le célèbre le 14 mars aux Etats-Unis (3/14) chaque année ! Pourquoi a-t-on parlé tout d'abord de valeurs de "Pi", comme on en parle si souvent désormais en cours de math en ligne ? Pourquoi les Grecs ont-ils choisi d'appeler cette formule "pi" avec leur lettre grecque ? La réponse est toute simple : on appela cette formule "pi" en raison du fait qu'en grec, ? est la première lettre du terme grec "??????????", signifiant "périmètre". Or, ? est une constante qui permet de découvrir la circonférence d'un cercle par rapport à la longueur d'une droite tracée selon un point O situé au centre du cercle. Dans cet article, on vous en dit plus sur ce que représente le nombre Pi et sur son utilisation.
La définition du chiffre pi
Le nombre Pi est donc défini comme le rapport entre la circonférence d'un cercle et son diamètre. C'est probablement la définition que tout le monde connaît avec plus ou moins de précision. Dans tous les cas, cela doit évoquer quelques vagues souvenirs (bons ou mauvais) chez vous ! Et pour un mathématicien, cela n'est rien d'autre que de la routine, un rappel basique sans besoin de plus de précision. Tous les cercles sont semblables et il suffit de connaître le rapport de la similitude pour passer d'un cercle à un autre.
Mais cette définition, connue de tous grâce aux cours de maths et utilisée pour calculer le périmètre et l'aire d'un cercle, n'est pas la plus exacte en toute rigueur scientifique. Ainsi, trois autres définitions utilisent des fonctions trigonométriques pour définir ?, de manière à utiliser cette fois la précision rigoureuse propre aux maths. Il convient donc de modifier cette définition quelque peu. L'une de ces trois autres définitions veut que ? soit le double du plus petit nombre positif x tel que cos(x) = 0, où cos est définie comme la partie réelle de l’exponentielle complexe. Voici à quel résultat aboutit donc la première définition approchée.
Comment représente-t-on Pi ?
Dans les cours du secondaire, on a l'habitude d'utiliser une approximation de Pi. Il est assez difficile d'envisager qu'on ne connaisse pas toutes les décimales d'un nombre, comme si celui-ci pouvait être infini. Et pourtant... Il convient de modifier notre vision des choses concernant la longueur des décimales de Pi ! Vous savez sans aucun doute que Pi est environ égal à 3,1416, parfois même simplifié à seulement 3,14... Il semble plus facile de modifier la vraie longueur décimale et de ne retenir que 2 chiffres après la virgule ! En réalité, les chercheurs et mathématiciens ont trouvé plus de 12 mille milliards de décimales de Pi. Retenons cependant que dans la vie quotidienne, estimer la circonférence d'un cercle ne nécessite pas plus d'une dizaine de décimales de Pi.
En 1881, Simon Newcomb a démontré qu'il suffisait de 10 décimales de Pi pour calculer la circonférence de la Terre et de trente pour obtenir celle de l'univers visible. La totalité des chiffres décimales après la virgule de Pi n'est donc pas totalement nécessaire au sein de notre mémoire... Si vous connaissez déjà les 15 premières décimales de Pi, vous serez bien plus avancé que la majorité de vos amis : 3,141 592 653 589 793. En fraction, le nombre Pi est représenté comme tel : 355/113. Facile à mémoriser, cette fraction était utilisée lors de différents calculs sur les calculatrices avant l'apparition de la touche fonction ?. Pi reste un mystère pour les scientifiques et fascinent professionnels et amateurs qui essaient d'en savoir toujours davantage sur ce nombre. Une réponse amenant toujours une autre question, il semble qu'un résultat "final" ne puisse être donné... Encore aujourd'hui, des recherches sont menées pour en apprendre plus sur le nombre Pi et ses valeurs.
Pourquoi dit-on que Pi est irrationnel ?
Le nombre Pi est un nombre irrationnel. Cela signifie qu'il est impossible d'écrire ? = p/q où p et q seraient des nombres entiers. Même si des mathématiciens en sont persuadés depuis le IXème siècle, le fait que Pi ne soit pas rationnel n'est véritablement démontré qu'au XVIIIème siècle par Jean-Henri Lambert, à l'aide d'une méthode de développement en fraction continue généralisée de la fonction tangente. Depuis, d'autres mathématiciens ont rendu cette méthode de démonstration plus simple, uniquement à l'aide du calcul intégral, la plus connue étant probablement celle d'Ivan Niven.
Pi est-il algébrique ?
Au-delà du fait d'être irrationnel, le nombre Pi est aussi transcendant, c'est-à-dire qu'il n'est pas algébrique : il n'y a aucun polynôme (à coefficient rationnel) dont Pi soit la racine. Difficile pour des calculs tout simples ! Les valeurs exactes de Pi sont mystérieuses, et en plus de cela, Pi ne peut être la racine d'aucun polynôme... De plus, il a été démontré que Pi n'est pas constructible. On ne peut pas construire, uniquement à la règle et au compas, un carré dont l'aire serait égale à celle d'un cercle donné. Vous cherchez des cours particuliers math ?
A quoi sert ? pour la formule périmètre d'un cercle ?
Pi ne sert pas uniquement à affoler les élèves du secondaire qui doivent apprendre quelques formules pour calculer le périmètre et l'aire d'un cercle, ou encore les nombres de décimales de Pi. Le nombre Pi est utilisé depuis l'Antiquité par les mathématiciens, d'abord pour résoudre des problèmes géométriques, puis dans le calcul intégral et enfin à l'ère informatique pour calculer toujours davantage de décimales de Pi.
Le rôle de ? en géométrie
Les formules de géométrie impliquant Pi concernent les cercles et les sphères.
On peut calculer la circonférence d'un cercle de rayon r et de diamètre d, mais aussi plusieurs aires de polygone ou non de manière approchée :
- Aire d'un disque,
- Aire d'une ellipse de demi-axes,
- Aire d'une sphère,
- Aire latérale d'un cylindre,
- Aire latérale d'un cône.
Et également des volumes :
- Volume d'une boule,
- Volume d'un cylindre,
- Volume d'un cône.
Voici quelques exercices pour utiliser le nombre Pi en géométrie :
- Le rayon de l'Equateur est de 6 379 km. Quelle distance parcourrait un habitant de Quito (la capitale du pays Equateur) s'il faisait le tour de la Terre sur l'Equateur en un jour ?
- Un bucheron mesure le périmètre d'un tronc d'arbre à l'aide d'un mètre et trouve 89 cm. Quel est le diamètre du tronc au centimètre près ?
Le nombre Pi dans les probabilités et les statistiques
Les probabilités et les statistiques ne dérogent pas à la règle : Pi est partout ! Il est utilisé par exemple dans la loi normale d'espérance et d'écart type mais aussi dans la loi de Cauchy. Des mathématiciens ont utilisé ? dans des expériences de probabilité. Les probabilités peuvent servir à obtenir une approximation de Pi. C'est notamment le cas de l'expérience intitulée l'aiguille de Buffon. Cette méthode présente ces limites en ne permet d'obtenir que quelques décimales de Pi.
Les autres utilisations du nombre Pi
Le nombre Pi est aussi utilisé en mathématiques dans des formules avec :
- Des nombres complexes,
- Des suites récursives,
- Des suites logistiques,
- Des séries,
- Des intégrales...
Comme quoi, le nombre Pi est omniprésent en mathématiques et pas seulement dans les formules de mathématiques impossibles à retenir ! Mais Pi est aussi présent partout dans notre quotidien :
- Une horloge fonctionne grâce à un système d'engrenages qui tournent à l'aide de dents. La taille des dents est définie par la distance constante entre deux points calculée à l'aide du nombre Pi,
- Votre système électrique fonctionne probablement en courant alternatif. D'où l'utilisation de fonctions périodiques sinusoïdales et Pi est encore impliqué là-dedans,
- En voiture aussi, Pi n'est jamais loin : « Le compteur dépend du nombre de tours de roues, qui dépend lui-même du périmètre de la roue, qui dépend de Pi », rappelle Jean-Paul Delahaye, mathématicien auteur de l'ouvrage Le fascinant nombre Pi.
Et on pourrait continuer la liste pendant un bon moment...
Faut-il mémoriser la valeur de pi ?
La mémorisation du nombre de Pi tourne à l'obsession chez de nombreuses personnes. Daniel Tammet, autiste souffrant du syndrome d'Asperger, a récité 22 514 décimales en 2004. Ce record est battu en 2005 par Lu Chao, qui a mémorisé et récité 67 890 décimales. Le Guinness des Records enregistre une nouvelle performance dix ans plus tard, dans la bouche de l'indien Rajveer Meena, qui est capable de donner sans sourciller 70 000 décimales de Pi. Un Japonais aurait apparemment récité 100 000 décimales de Pi en 2005 mais la performance n'a pas été validée par le Guinness des records. Un neurochirurgien ukrainien en 2009 a affirmé connaître 30 millions de décimales mais une nouvelle fois, le record n'a pas été validé. Il aurait mis plus d'un an à retenir tous ces chiffres... Les maths deviennent vite obsessionnelles !
Si vous voulez tenter de retenir un maximum de décimales de ?, il existe plusieurs méthodes, dont la mémorisation d'un poème dont le nombre de lettres de chaque mot correspond à une décimale (un mot de 10 lettres valant 0) :
Que j’aime à faire apprendre un nombre utile aux sages ! (3,1415926535)
Glorieux Archimède, artiste, ingénieur, (8979)
Toi de qui Syracuse aime encore la gloire, (32384626)
Soit ton nom conservé par de savants grimoires ! (43383279)
Jadis, mystérieux, un problème bloquait (etc.)
Tout l’admirable procédé, l’œuvre grandiose
Que Pythagore découvrit aux anciens Grecs.
Ô quadrature ! Vieux tourment du philosophe
Insoluble rondeur, trop longtemps vous avez
Défié Pythagore et ses imitateurs.
Comment intégrer l’espace plan circulaire ?
Former un triangle auquel il équivaudra ?
Nouvelle invention : Archimède inscrira
Dedans un hexagone ; appréciera son aire
Fonction du rayon. Pas trop ne s’y tiendra :
Dédoublera chaque élément antérieur ;
Toujours de l’orbe calculée approchera ;
Définira limite ; enfin, l’arc, le limiteur
De cet inquiétant cercle, ennemi trop rebelle
Professeur, enseignez son problème avec zèle.
Dans l'utilisation normale que l'on peut faire de Pi, il n'y a en revanche aucune raison de mémoriser un maximum de décimales du chiffre. A part pour épater ses amis... ! Réponses aux questions de mathématiques posées précédemment :
- En utilisant 2?r, on obtient : 40 080 kilomètres (arrondis au kilomètre près),
- On peut déterminer le diamètre d'un cercle et son rayon si on a son périmètre. Si P = ? x D, alors, D = P / ?. Le diamètre du tronc est donc de 28 centimètres.
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