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Factoriser et mieux Comprendre les Nombres Complexes

De Yann, publié le 22/11/2016 Blog > Soutien scolaire > Maths > Comment Résoudre une Équation en Maths ?

Les mathématiques représentent souvent une matière complexe, redoutée par de nombreux élèves…et de nombreux adultes ! Des fameux logarithmes en passant par les fonctions exponentielles, les tableaux de variations, la dérivation, la fonction affine, les nombres premiers ou encore les cosinus, sinus ou autre tangente, certains aspects des mathématiques effraient.

Pourtant, cette discipline un peu mal-aimée fait partie des savoirs fondamentaux à maîtriser si l’on veut réussir sa scolarité.

Jusqu’à votre bac, vous n’échapperez pas à la résolution de problèmes mathématiques.

Et plus tard, dans l’enseignement supérieur, les notions de maths permettront d’adopter un certain esprit de rigueur, de synthèse et cela améliorera même l’efficacité de la mémoire.

Alors que Mickaël Launey, célèbre youtubeur et mathématicien, sortait en 2016 un ouvrage intitulé « Le Grand roman des maths » pour permettre de se réconcilier avec la matière, il est temps de revoir une des bases des mathématiques : les équations.

Avec une calculatrice, de la motivation, quelques cours et exercices, vous saurez à la fin de cet article comment résoudre une équation. Ce qui vous permettra, entre autres, d’aborder les maths avec plus de sérénité.

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Qu’est-ce qu’une Équation ?

En mathématiques comme dans les autres matières, il est nécessaire de comprendre le sens des termes que l’on emploie.
Votre professeur vous le dira certainement : saisir la définition du vocabulaire mathématicien est essentiel si l’on veut progresser en maths.

Ainsi, avant de faire une équation de mathématiques, vous devez connaître la définition.

Selon le dictionnaire Larousse, l’équation est une « égalité qui n’est vérifiée que pour certaine(s) valeur(s) de la ou des inconnues ».
Dès cette première définition plutôt généraliste, les termes « valeurs » et « inconnues » apparaissent. Ils ne vous quitteront pas tout au long de la résolution de votre équation.

Plus mathématicienne, la définition du CNTRL (Centre National de Ressources Textuelles et Lexicales) met en lumière de façon plus évidente la portée de ce mot.
Il s’agit d’une « égalité entre deux expressions algébriques contenant une ou plusieurs inconnues, qui peut être vérifiée pour une ou plusieurs valeurs des inconnues ».

Comment factoriser une équation ? Faire des exercices pour progresser en mathématiques est la meilleure option !

Néanmoins, si la notion reste floue pour vous, la définition trouvée dans un cours de maths d’une classe de quatrième pourrait mieux vous convenir : « une équation est une égalité qui comporte une variable (souvent appelée x), elle sert à résoudre des problèmes ».

Vous avez désormais tous les éléments pour comprendre l’équation :

  • Egalité entre deux expressions algébriques,
  • Une ou plusieurs inconnues à trouver,
  • Une variable appelée « x »,
  • Utile à la résolution de problèmes.

Qu’il s’agisse d’une équation du second degré (forme réduite), d’une équation à une inconnue, d’une équation différentielle, vous devriez être à même de les résoudre (et de les factoriser).

Les Compétences à Avoir Pour Résoudre des Équations

Réussir à résoudre une équation nécessite certaines compétences relatives à l’apprentissage des mathématiques et à ce fameux « esprit mathématicien » que l’on doit acquérir durant sa scolarité jusqu’à la 2nde et au-delà.

L’esprit mathématicien

L’appréhension ressentie par de nombreux élèves quant à la discipline est liée en partie au fait qu’ils sont nombreux à ne pas voir l’utilité des maths dans la vraie vie.

En réalité, les maths font partie intégrante de nos quotidiens, même si nous nous en rendons rarement compte.
De la cuisine à l’achat d’une maison, en passant par le moment où l’on fait ses courses ou ses comptes, la matière est omniprésente dans nos vies.

Votre prof de maths à l’école, en terminale S, terminale ES ou votre professeur particulier vous apporteront des compétences qui vous serviront tous les jours.

Propres à l’esprit mathématicien, elles sont en outre indispensables lorsque l’on veut résoudre une équation sans faire d’erreurs.

  1. La rigueur
    Il est nécessaire d’être rigoureux quand on veut faire des maths, et plus particulièrement lorsque l’on veut faire des équations. Lorsque vous vous trouverez face à vos exercices de maths ou face à votre contrôle, il vous faudra être précis et raisonner avec logique.
  2. La mémoire
    Les mathématiques font travailler la mémoire.
    En vous entraînant régulièrement, vous serez capable de faire le lien avec vos leçons de maths et de les mettre en application pour résoudre l’équation qui vous est proposée.
    Aussi, vous pourrez vous remémorer d’anciennes équations résolues qui ressemblent à celle que vous devez effectuer.
  3. L’organisation
    Faire une équation nécessite de procéder par étapes.
    L’organisation, tant dans votre exercice que dans votre environnement de travail, vous permettra d’appréhender l’exercice avec une certaine sérénité. Vous ne devez pas vous éparpiller.
  4. Enfin, la logique.
    Bien qu’en répétant systématiquement les mêmes procédés de résolution d’équation, il est important de comprendre la logique sous jacente à la résolution de ces problèmes. En ce sens, la rigueur, l’organisation, l’entrainement et la mémoire permettent à terme de mieux cerner le processus et de résoudre ensuite en étant plus fluide dans son raisonnement.

Quand apprend-on des équations ?

Comment calculer sans calculatrice ? Le calcul mental s’apprend dès le plus jeune âge pour être à même de comprendre la logique mathématique.

Pendant l’école primaire, on apprend bien évidemment à compter mais on se familiarise aussi avec le calcul mental.
On commence à additionner, à soustraire et à multiplier.
Cet enseignement élémentaire permet d’avoir les bases des mathématiques.

C’est au collège que les équations commencent progressivement à apparaître.

En cinquième, on apprend à résoudre des équations en s’aidant du calcul littéral.
On découvre les équations à travers les fameuses « expressions littérales », qui sont les formules mathématiques dans lesquelles des lettres apparaissent.

Voici un exemple d’équation proposée en cinquième : 7x + 5 = 3x – 15
Ici, il faut trouver l’inconnue (x).

La résolution d’une telle équation nécessite de passer d’un côté ou de l’autre de l’équation tous les termes comportant des x et tous ceux exprimant des nombres de l’autre côté. Gardons à l’esprit qu’à chaque fois que l’on passe un terme (en X ou en nombre) de l’autre côté du signe égal, son signe change.

Ainsi, on a :

7x – 3x = -15 – 5

4 x = -20 d’ou x =  – 20 / 4 = – 5

Pour vérifier son résultat, il est possible de changer x par sa valeur. Ici x = -5. On a donc 7 * (-5) + 5 = 3 * (-5) – 15 = – 30. Le résultat est donc juste.

En quatrième et en troisième, les fractions et les nombres négatifs apparaissent pour préparer les élèves au diplôme du brevet des collèges.
Lors de l’épreuve de mathématiques, les équations peuvent alors prendre cette forme :

(8x-6)/9-(-10x-6)/6 = (x-5)/4

Au lycée, dès la classe de seconde, le niveau en maths augmente et des équations plus complexes apparaissent.
Elles ne quitteront pas le programme de mathématiques au lycée, surtout pour ceux qui choisiront de préparer le bac ES option spé maths ou à plus forte raison un bac scientifique avec option mathématiques et / ou qui continueront en maths supp, ou encore en licence économie dans l’enseignement supérieur.

Sous des aspects plus complexes, les équations trouveront dans ce genre de programme une place toute particulière c’est pourquoi il est indispensable de se familiariser avec cette logique dès le plus jeune âge !

Résoudre Une Équation du Premier Degré

Les équations du premier degré apparaissent comme les équations les plus simples à résoudre.
En effet, trouver la solution pour une équation du premier degré n’implique que quatre type de calculs : l’addition, la soustraction, la multiplication et la division.

Si vous devez résoudre une équation du premier degré à une inconnue, votre objectif est simple : il vous faut trouver et isoler la valeur de x (la fameuse inconnue).

Pour une équation simple, vous allez alors procéder par étapes :

  • Isoler l’inconnue,
  • Regrouper les termes,
  • Diviser
  • Conclure par la solution, généralement nommée S.

Comme nous l’avons déjà expliqué, pour l’équation (3x-5 = –x +2), votre calcul devra être similaire à celui-ci :

3x= 5 + 2 (ici, l’inconnue a été isolée)
4x = 7 (les termes ont été regroupés)
=  7/4 (division par 4)

Donc S = 7/4

Vous pouvez peut-être désormais tenter de résoudre la plus célèbre des équations du premier degré de l’histoire des mathématiques : l’épitaphe (sur la tombe) du mathématicien Diophante d’Alexandrie.

Elle date du IIIe siècle et permet de trouver son âge.

Trouver la Solution Pour une Équation Produit-Nul

Une équation-produit est une équation du second degré.

Concrètement, une équation produit prend la forme suivante : (ax + b)(cx+d) = 0
X est toujours l’inconnue, et a, b, c, et d sont des nombres fixes donnés par l’exercice. Pour ceux plus à l’aise avec les chiffres qu’avec les inconnues, cela pourrait par exemple être 2x + 2.

Lors de votre cours de maths sur ce type d’équations, votre enseignant vous expliquera une règle élémentaire pour leur résolution : un produit de facteurs est nul si et seulement si au moins un des facteurs est nul.

Il vous faudra donc résoudre autant d’équations qu’il y a de facteurs !

Bien connaître ses tables de multiplication est utile pour la résolution d'équations. Il peut vous être demandé d’utiliser une équation pour calculer l’aire d’un triangle rectangle !

On ne vous le répétera jamais assez : la meilleure façon d’apprendre est de s’entraîner et de faire des exercices corrigés par un professeur. 
Voici donc un exemple d’équation produit-nul, avec sa solution.

(3x + 4) × (2x – 5) = 0

Les deux facteurs correspondent aux deux groupes d’équation entre parenthèses. Il va donc falloir les deux.

  • 3x + 4 = 0
    3x = -4
    x = -4/3
  • 2– 5 = 0
    2x = 5
    x= 5/2

Cette équation a donc deux solutions :  -4/3 et 5/2. 

Résoudre des Équations du Second Degré

Pour résoudre une équation du second degré, il faut être capable de maîtriser les équations du premier degré ainsi que les principes de résolution des équations produits. Une équation du second degré peut s’écrire sous la forme ax² + bx + c = 0, avec a différent de 0.

Première chose, pour la résolution d’équation du 2nd degré, il est important de connaître ses identités remarquables. On rassure tout le monde, seulement 3 sont à connaître par cœur.

a² + 2ab + b² = (a+b)²

a² – 2ab + b² = (a-b)²

a² – b² = (a+b)(a-b)

Reconnaître celles-ci permettra une résolution rapide de l’équation en question. C’est la première étape de la résolution, chercher une forme particulière à l’équation. Dans quelle mesure peut-elle s’écrire comme une expression d’une identité remarquable ?

Lorsque ce n’est malheureusement pas le cas, pas de panique, une autre solution existe mais elle nécessite l’apprentissage de quelques formules (3 au total, cela reste raisonnable).

Pour résoudre une équation de la forme ax² + bx + c = 0, il faut au préalable calculer le discriminant du trinôme, aussi appelé par la lettre grecque delta (Δ). Celui-ci s’obtient par la formule suivante : Δ = b² – 4 ac.

Des lors, apparaissent trois cas de figures :

  • Lorsque Δ est négatif, la résolution est aisée puisqu’il n’existe pas de solution,
  • Lorsque Δ est égal à 0, il n’existe qu’une seule et unique solution qui est de la forme x = – b / 2a,
  • Enfin, lorsque Δ est positif, il existe deux solutions distinctes qui sont :
    • X1 = (-b-√Δ)/(2a)
    • X2 = (-b+√Δ)/(2a).

Un exemple pour mieux comprendre :

Pour résoudre l’équation 2x² + 5 x + 2, si on calcule le discriminant Δ, on obtient :

Δ = b² – 4 ac

Δ = 5² – 4 * (2 * 2)

Δ = 25 – 16 = 9 > 0 donc il existe deux solutions distinctes :

  • X1 = -5 -√9 / (2*2) = -8/4 = -2
  • X2 = -5+√9 / (2*2) = -2/4 = -1/2

Attention donc dans le calcul du discriminant aux erreurs de signe. Il ne faut pas non plus se laisser décontenancer si on voit apparaître un x au cube. En effet, une équation de la forme x³ + 2 x² + 8 x peut se résoudre comme une équation du second degré si on utilise la factorisation et que l’on factorise chacun des membres de l’expression par x.

Ainsi, l’équation devient x ( x² + 2 x + 8). X = 0 est une solution de l’équation et en calculant le discriminant de x² + 2 x + 8, on trouvera une, plusieurs ou aucune autre solution à l’équation.

Le cas des équations-quotients

Une équation-quotient a pour règle un théorème : un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul et son dénominateur non nul.

Vous êtes face à une équation-quotient si votre exercice a la forme suivante : f(x) / g(x) = 0.

Pour résoudre une équation-quotient, vous devez :

  • Exclure les valeurs interdites, c’est-à-dire celles qui annulent le dénominateur,
  • Tout réduire au même dénominateur,
  • Ramener à un quotient-nul,
  • Résoudre l’équation,
  • Vérifier que les valeurs obtenues ne sont pas des valeurs interdites.

Voici un exemple de résolution d’équation-quotient utilisant les produits en croix : x / x+1 = x-1 / x+2

x (x + 2) = (x − 1)
(x + 1) (x + 2) − (x − 1) (x + 1) = 0
x² + 2x – (x² – 1)  = 0
x² + 2x – x² + 1 = 0
2x + 1 = 0
x =   -(1/2)

Il ne s’agit pas d’une valeur interdite. Ainsi, la solution S = -(1/2).

Résoudre une équation à deux inconnues

Quel cours de soutien choisir quand on est nul en maths ? Sans parler des figures géométriques, les mathématiques vous seront utiles tout au long de votre vie !

Ici, le système de résolution change. Il ne s’agit plus de déterminer la valeur d’une inconnue, il va falloir dans un premier temps exprimer une inconnue par rapport à l’autre (méthode par substitution), ou encore chercher à déterminer x pour ensuite déterminer y (méthode par combinaison).

En d’autres termes, avec deux inconnues x et y, on cherche combien de x valent un y ou vice-versa. C’est précisément ce que l’on fait lorsqu’on exprime x en fonction de y ou y en fonction de x dans la méthode par substitution.

Nous allons chercher à détailler, exemples à l’appui, ces deux méthodes : par combinaison et par substitution.

Méthode par combinaison

Que ce soit par substitution ou par combinaison, il est nécessaire d’avoir un système de deux équations pour déterminer la valeur de deux inconnues. En effet, si on prend un cas très simple ou x + y = 1, il est impossible avec juste cette information de déterminer la valeur de x et de y. C’est pourquoi deux équations sont nécessaires.

Un exemple pour mieux comprendre la résolution par substitution.

Avec le système suivant :

{2 x + 4 y = 20

{7 x + 8 y = 52

Dans un premier temps, il va falloir « harmoniser » les équations de sorte à avoir dans l’une comme dans l’autre soit le même nombre de x, soit le même nombre de y. Dans cet exemple précis, il est possible de multiplier chacun des membres de la première équation par 3,5 pour obtenir le même nombre de x dans la première et dans la deuxième équation (en l’occurrence 7 x). Néanmoins, il semble plus aisé ici de procéder avec les y, en multipliant chacun des membres de la première équation par 2.

On obtient pour la première équation : 2 ( 2 x + 4 y ) = 20 * 2 et donc le nouveau système suivant :

{4 x + 8 y = 40

{7 x + 8 y = 52

Maintenant qu’on a le même nombre de y dans la première et dans la deuxième équation (il aurait également été possible de procéder de la même façon avec x), on va effectuer une soustraction entre les deux équations. On soustrait donc soit la première à la seconde, soit l’inverse, le résultat restera le même.

On a donc :

  • (7 x + 8 y) – (4 x + 8 y) = 52 – 40
  • 7 x + 8 y – 4 x – 8 y = 12
  • 3 x = 12
  • D’ou x = 4

Maintenant que l’on connaît la valeur de x, on remplace dans les équations de départ x par la valeur 4. Le système de résolution est le même qu’une équation du premier degré avec une seule inconnue.

On obtient pour la première équation :

  • 2 * 4 + 4 y = 20
  • 4 y = 20 – 8
  • y = 12 /4 = 3

On peut utiliser la seconde équation pour vérifier le résultat :

  • 7 * 4 + 8 y = 52
  • 8 y = 52 – 28
  • y = 24 / 8 = 3

Les solutions de l’équation sont donc x = 3 et y = 4 que l’on note : S = {4 ; 3}

Méthode par substitution

Apprendre les maths, est-ce difficile ? Les jeux mathématiques répondent souvent à des calculs complexes.

La méthode par substitution est légèrement différente. Il s’agit d’exprimer directement x en fonction de y ou l’inverse.

Reprenons l’exemple précédemment utilisé :

{2 x + 4 y = 20

{7 x + 8 y = 52

Dans la première équation, on peut chercher à exprimer x en fonction de y.

  • 2 x + 4 y = 20
  • 2 x = 20 – 4 y
  • x = 10 – 2 y

Maintenant que l’on a une valeur de x en fonction de y, on va réinjecter cette valeur dans la seconde équation.

  • 7 x + 8 y = 52
  • 7 ( 10 – 2 y) + 8 y = 52
  • 70 – 14 y + 8 y = 52
  • – 6 y = – 18 , d’ou y = 3

On peut ensuite reprendre la première équation et à nouveau la résoudre comme une équation à une seule et unique inconnue.

  • 2 x + 4 y = 20
  • 2 x + 4 (3) = 20
  • 2 x = 20 – 12
  • x = 4

On constate que l’on obtient bien les mêmes résultats avec les deux méthodes. Sachez que tous les systèmes du premier degré avec deux inconnues peuvent être résolus par combinaison ou par substitution. Dans certains cas l’une des deux méthodes sera plus rapide que l’autre, dans d’autres cas, cela sera l’inverse.

Certains élèves sont plus à l’aise avec la méthode par combinaison, d’autres préfèrent l’utilisation de la méthode par substitution. Le plus important est de se sentir à l’aise avec la méthode que l’on utilise.  

La Mise En Équation d’un Problème

Lors de vos leçons de mathématiques, pendant les contrôles ou pendant une épreuve d’examen, il peut vous être demandé de mettre en équation un problème donné.

La méthodologie est simple, et doit encore une fois être rigoureuse si l’on veut s’assurer de donner une réponse juste :

  • Lire plusieurs fois l’énoncé pour bien le comprendre,
  • Déterminer l’inconnue (ou les inconnues) qui correspond généralement au nombre demandé dans la question posée par le problème,
  • Traduire et simplifier le texte en écritures mathématiques,
  • Résoudre l’équation obtenue,
  • Vérifier le résultat plusieurs fois,
  • Rédiger la réponse à la question.

Dans certains cas, il peut s’agir d’un problème géométrique.
La procédure est la même, il vous faudra simplement faire un schéma supplémentaire au brouillon à l’aide de vos cours de géométrie pour pouvoir le résoudre.

Voici typiquement un exemple de problème qui peut être mis en équation :

  • Trois cousins, Jean, Yanis et Lucas ont à eux trois 60 ans.
    Quel est l’âge de chacun, sachant que Lucas a le triple de l’âge de Yanis et que Jean a dix ans de moins que Lucas ?

Dans ce problème à résoudre, les inconnues à trouver à l’aide de plusieurs équations correspondent aux âges respectifs des trois cousins !

Comment se perfectionner en mathématiques ?

Pas besoin d'une licence mathématiques pour résoudre des équations ! Bien choisir son professeur de mathématiques peut vous aider à progresser rapidement.

Plusieurs solutions s’offrent à vous si vous souhaitez vous perfectionner en maths et approfondir durablement vos compétences en équations.

Des cours particuliers maths avec un professeur à domicile vous feront progresser. Que vous ayez des difficultés pour résoudre une équation, pour factoriser une expression, avec les nombres décimaux, les nombres relatifs ou si vous voulez résoudre des énigmes mathématiques, un professeur sera là pour vous former et vous enseigner la méthodologie adéquate. Il saura vous expliquer les systèmes d’équations à votre rythme et avec une pédagogie ludique et interactive.

Réviser régulièrement en réalisant des fiches de révision ou encore suivre des cours de maths en ligne sur Youtube, en parallèle de vos cours particuliers maths, vous aideront, aussi, à devenir meilleur en maths !

En synthèse :

  • Les équations et inéquations sont au cœur de l’arithmétique (à ne pas confondre avec l’algèbre) et occupent une place de choix dans la discipline mathématique et dans de nombreux exercices mathématiques.
  • Que ce soit pour les polynômes avec les équations polynomiales ou les équations diophantiennes, en trigonométrie avec les équations trigonométriques, équations du premier ou du deuxième degré, à une ou plusieurs inconnues, il y a fort à parier pour qu’elles vous suivent tout au long de votre scolarité et éventuellement de votre parcours universitaire pour les plus matheux.

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